La formule de Léonard explique pourquoi les branches se divisent sans casser

La formule de Léonard explique pourquoi les branches se divisent sans casser

La formule de Léonard explique pourquoi les branches se divisent sans casser 281 366 Sébastien BAGES

Le cône gracieux de la division des branches du tronc d’arbre, puis en rameaux et brindilles est si familière que peu de gens ont remarqué les dire de Léonard de Vinci qui a observé : Un arbre pousse presque toujours de telle sorte que l’épaisseur totale des branches à une hauteur en particulier est égale à l’épaisseur du tronc. Jusqu’à présent, personne n’a été capable d’expliquer pourquoi les arbres obéissent à cette règle. Mais une nouvelle étude pourrait avoir la réponse.


La règle de Léonard de Vinci est vrai pour presque toutes les espèces d’arbres, et les artistes graphiques utilisent systématiquement cette technique pour créer générer par informatique des arbres réalistes. La règle dit : lorsque le tronc d’un arbre se divise en deux branches, la section totale de ces branches secondaires sera égale à la section transversale du tronc. Si ces deux branches se divisent à leur tour en deux branches, la zone des sections des quatre branches supplémentaires sera égale à la superficie de la section transversale du tronc. Et ainsi de suite.

Exprimé de façon mathématique, la règle de Léonard de Vinci affirme que si une branche de diamètre (D) se divise en un nombre arbitraire (n) de branches secondaires de diamètres (D1, D2, etc), la somme des diamètres des branches secondaires au carré est égale au carré du diamètre de la branche d’origine. Ou, en formule : D² = Σdi², où i = 1, 2,… n. Pour de vrais arbres, l’exposant dans l’équation que décrit l’hypothèse de Léonard de Vinci n’est pas toujours égal à 2 mais varie plutôt entre 1,8 et 2,3 selon la géométrie des espèces spécifiques à l’arbre. Mais l’équation générale est encore assez proche et prévaut presque pour tous les arbres.

Les botanistes ont émis l’hypothèse que l’observation de Léonard de Vinci a quelque chose à voir avec la façon dont l’arbre pompe l’eau de ses racines aux feuilles. L’idée étant que l’arbre a besoin de la même veine de diamètre totale de haut en bas pour bien irriguer les feuilles.

Mais cela ne sonne pas juste aux oreilles de Christophe Eloy, un physicien invité à l’Université de Californie (UC) de San Diego, qui est également affilié à l’Université de Provence en France. Eloy, un spécialiste en mécanique des fluides, a convenu que l’équation avait quelque chose à voir avec les feuilles d’un arbre, mais pas dans la façon dont ils ont pris l’eau, plutôt par la force du vent capturés par les feuilles quand il souffle.

Eloy a utilisé perspicacement un peu de mathématique afin de trouver le lien avec la force du vent. Il a modelé un arbre dont les poutres sont assemblées en cantilever pour former un réseau fractal. Une poutre cantilever est ancrée à une seule extrémité, une fractale est une forme qui peut être divisée en plusieurs parties, dont chacune est un plus petite, bien que parfois pas non-identique, copie de la structure plus large.

Pour le modèle d’Eloy, cela signifiait que chaque fois qu’une plus grande branche se divise en plus petites branches, elles doivent se diviser en autant de branches avec environ les mêmes angles et orientations. La plupart des arbres naturels croissent de façon assez fractale.

Parce que les feuilles sur une branche d’arbre poussent toutes à la même extrémité de la branche, Eloy a modélisé la force du vent soufflant sur ​​les feuilles de l’arbre comme une force de pression sur la pointe de la poutre en porte à faux.

Quand il a joint l’équation de la force du vent à son modèle, cela lui a fait supposer que la probabilité d’une branche qui casse à cause du stress du vent est constante, il a donc inventé la règle de Léonard.


Il a ensuite testé à l’aide d’une simulation numérique par ordinateur pour en venir aux problèmes des directions différentes, du calcul des forces sur les branches, puis en utilisant ces forces appréhender quelle épaisseur doit avoir les branches afin de résister à la rupture (voir illustration). La simulation numérique prédit avec précision les diamètres des embranchements et la gamme de 1,8 à 2,3 que se représentait Léonard de Vinci.

Eloy révèle ces informations dans un document qui sera bientôt publié dans Physical Review Letters.

“Les arbres sont des organismes très diversifiés et Christophe semble être arrivé à un principe simple et élégant de physique qui explique comment l’arbre se décompose du tronc, à travers les branches, jusqu’au brindilles”, explique Marcus Roper, un mathématicien à UC Berkeley. “C’est surprenant et merveilleux que personne n’y [l’explication du vent] ait songé plus tôt”.

“Cette étude apporte des arbres à la hauteur des structures artificielles qui ont été principalement conçues en tenant compte du vent changeant. La Tour Eiffel étant peut-être l’exemple le plus connu”, explique Pedro Reis, un ingénieur au Massachusetts Institute of Technology à Cambridge. Les résultats de cette recherche pourraient trouver “un impact sur notre compréhension des dégâts considérables que peut provoquer le vent, tels que la destruction par le récent ouragan Irene“, dit-il, qui a renversé des arbres sur une large bande de nord-est américain en Août 2011.

 
La formule de Léonard explique pourquoi les branches se divisent sans casser

 


Crédit images :
C. Eloy et al./Phys. Rev. Letters
– l’arbre en fleur de Rouen : par Frédéric BISSON

Via l’article original de Wired, traduit par Sébastien B.

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Sébastien BAGES
About the author

Sébastien BAGES

Plus de trois années de travail passionné sur Civilisation 2.0 Actus, et fondateur de l'association Civilisation 2.0, je mets à contribution mon expertise de veille technique et scientifique, mon analyse de chef de projet, mon engouement pour la science et ses outils, et mon expérience dans le développement stratégique afin d'offrir à tous ce qui en résulte.

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